Cours S1 Algèbre BCG
Introduction à l'Algèbre pour les Étudiants en Sciences et Techniques
Introduction : L'algèbre est une branche fondamentale des mathématiques qui joue un rôle crucial dans diverses disciplines scientifiques et techniques. Que vous soyez étudiant en sciences, en techniques, en biologie, en économie, ou en informatique, une solide compréhension de l'algèbre est essentielle pour réussir dans votre domaine. Cet article présente un aperçu du cours S1 d'algèbre, destiné aux étudiants de première année.
Éléments de Logique : Le cours commence par une introduction aux éléments de logique, une base indispensable pour toute étude mathématique. Vous apprendrez les opérations logiques telles que la négation, la conjonction, et la disjonction, ainsi que les règles de De Morgan. Ces concepts vous aideront à développer une pensée logique et structurée.
Théorie des Ensembles : Ensuite, vous serez introduit à la théorie des ensembles, un concept clé en mathématiques. Vous découvrirez comment définir des ensembles, utiliser des quantificateurs, et effectuer des opérations sur les ensembles. De plus, le cours couvre les applications et fonctions, y compris la composition d'applications, la restriction, et le prolongement.
Structures Algébriques : La dernière partie du cours aborde les structures algébriques, telles que les lois de compositions internes, les groupes, les anneaux, et les corps. Vous explorerez également les homomorphismes de groupes et d'anneaux, les idéaux, et les anneaux quotients. Ces concepts sont essentiels pour comprendre le calcul matriciel, l'objectif ultime du cours.
Conclusion : Ce cours d'algèbre S1 offre une base solide pour les étudiants en sciences et techniques, couvrant des concepts fondamentaux qui sont cruciaux pour leur parcours académique et professionnel. En maîtrisant ces éléments, vous serez mieux équipé pour aborder des sujets plus avancés et appliquer vos connaissances dans diverses disciplines scientifiques.
Mots-clés : algèbre, mathématiques, sciences et techniques, théorie des ensembles, logique, structures algébriques, calcul matriciel.
Résumé du Document : Cours S1 Algèbre
Ce document, intitulé "Cours S1 Algèbre", est un manuel préliminaire destiné aux étudiants de première année des Sciences et Techniques ainsi que des Mathématiques et Informatique. Il se compose de trois parties principales :
Éléments de logique :
- Introduction aux opérations logiques comme la négation, la conjonction, la disjonction, et les règles de De Morgan.
- Définitions et propriétés des opérations logiques, y compris l'implication, la contraposée, et la réciproque.
Éléments de la théorie des ensembles :
- Description des ensembles et des quantificateurs.
- Explication des opérations sur les ensembles, des applications et des fonctions.
- Concepts de composition d'applications, restriction, prolongement, images, et fonctions bijectives.
Structures algébriques :
- Discussion sur les lois de compositions internes, les structures de groupes, les sous-groupes, les anneaux, et les corps.
- Exploration des homomorphismes de groupes et d'anneaux, des idéaux, et des anneaux quotients.
L'objectif ultime du cours est de fournir une compréhension complète du calcul matriciel. Ce manuel est particulièrement utile pour les étudiants en sciences, techniques, biologie, et sciences économiques, ainsi que pour ceux des mathématiques et informatique.
Table des matières
1 ELÉMENTS DE LOGIQUE 5
1.1 Opérations Logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 La négation ¬ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 La Conjonction ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 La Disjonction ∨ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Règles de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 L’Implication =⇒ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 La contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 La réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 13
2.1 Les Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Applications et Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Images et images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Relations binaires 29
3.1 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Décomposition d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Plus petit, Plus grand élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Eléments Minimaux et éléments maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Borne Inférieure, Borne Supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 STRUCTURES ALGEBRIQUES 39
4.1 Lois de Compositions Internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Unicité de l’inverse (du symétrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Structure de Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Groupes à deux éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Goupes Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 Homomorphismes de Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Structure d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Sous Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Homomorphismes d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.4 Anneaux Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Caractéristique d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
