Cours S2 Analyse 1
Chapitre 1 : Limites
1.1 Définition et propriétés
Dans tout ce document, on utilisera indifféremment le terme “fonction” et le terme “application”. Une application (ou une fonction) \( f \) de \( D \) dans \( E \) est la donnée pour tout \( x \in D \) de son image par \( f \), notée \( f(x) \). (Le domaine de définition de \( f \) est donc ici l’ensemble \( D \). Lorsque nous parlerons d’une fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), le domaine de définition de \( f \) sera donc \( \mathbb{R} \) tout entier.
**Définition 1.1 (Limite finie en un point de \( \mathbb{R} \))**
Soit \( f \) une application de \( D \subset \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), \( a \in \mathbb{R} \) et \( l \in \mathbb{R} \). On suppose qu’il existe \( b, c \in \mathbb{R} \) tels que \( b < a < c \) et \( D \supset ]b, a[ \cup ]a, c[ \). On dit que \( l \) est limite de \( f \) en \( a \) si pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( \alpha > 0 \) tel que \( x \in D, x \neq a, |x - a| \leq \alpha \Rightarrow |f(x) - l| \leq \epsilon \).
**Proposition 1.1 (Unicité de la limite)**
Soit \( f \) une application de \( D \subset \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) et \( a \in \mathbb{R} \). On suppose qu’il existe \( b, c \in \mathbb{R} \) tels que \( b < a < c \) et \( D \supset ]b, a[ \cup ]a, c[ \). Soit \( l, m \in \mathbb{R} \). On suppose que \( l \) est limite de \( f \) en \( a \) et que \( m \) est aussi limite de \( f \) en \( a \). Alors, \( l = m \).
**Démonstration :**
Soit \( \epsilon > 0 \). Comme \( l \) est limite de \( f \) en \( a \), il existe \( \alpha > 0 \) tel que
\[ x \in D, x \neq a, |x - a| \leq \alpha \Rightarrow |f(x) - l| \leq \epsilon. \]
Comme \( m \) est limite de \( f \) en \( a \), il existe \( \beta > 0 \) tel que
\[ x \in D, x \neq a, |x - a| \leq \beta \Rightarrow |f(x) - m| \leq \epsilon. \]
On choisit maintenant \( x = \min(a + \alpha, a + \beta, \frac{a + c}{2}) \). On a alors \( x \neq a, x \in D \) (car \( a < \frac{a + c}{2} < c \)). Donc,
\[ |f(x) - l| \leq \epsilon \]
et
\[ |f(x) - m| \leq \epsilon. \]
Ainsi,
\[ |l - m| = |(l - f(x)) + (f(x) - m)| \leq |l - f(x)| + |f(x) - m| \leq 2\epsilon. \]
Pour \( \epsilon > 0 \), on choisit alors \( \epsilon = \frac{|l - m|}{4} \) et on obtient
\[ 2\epsilon = \frac{|l - m|}{2} \leq \epsilon, \]
ce qui donne \( 2 \leq 1 \) (ce qui est absurde). On a donc bien, nécessairement, \( l = m \).
**Notation :** Si \( l \) est limite de \( f \) en \( a \), on note \( l = \lim_{x \to a} f(x) \).
**Proposition 1.2 (Caractérisation séquentielle de la limite)**
Soit \( f \) une application de \( D \subset \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), \( a \in \mathbb{R} \) et \( l \in \mathbb{R} \). On suppose qu’il existe \( b, c \in \mathbb{R} \) tels que \( b < a < c \) et \( D \supset ]b, a[ \cup ]a, c[ \). Alors, \( l \) est la limite en \( a \) de \( f \) si et seulement si \( f \) transforme toute suite convergente vers \( a \) (et prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) en suite convergente vers \( l \), c’est-à-dire :
\[ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset D \setminus \{a\}, \lim_{n \to +\infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = l. \]
**Démonstration :**
On suppose tout d’abord que \( l = \lim_{x \to a} f(x) \) et on va montrer que \( f \) transforme toute suite convergente vers \( a \) (et prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) en suite convergente vers \( l \).
Soit \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset D \setminus \{a\} \) tel que \( \lim_{n \to +\infty} x_n = a \). On veut montrer que \( \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = l \), c’est-à-dire (par définition de la limite d’une suite) que pour tout \( \epsilon > 0 \) il existe \( n_0 \in \mathbb{N} \) tel que \( n \geq n_0 \Rightarrow |f(x_n) - l| \leq \epsilon \).
Soit donc \( \epsilon > 0 \). On cherche à montrer l’existence de \( n_0 \) donnant \( (1.1) \).
On commence par remarquer que, comme \( l = \lim_{x \to a} f(x) \), il existe \( \alpha > 0 \) tel que
\[ x \in D, x \neq a, |x - a| \leq \alpha \Rightarrow |f(x) - l| \leq \epsilon. \]
Puis, comme \( \lim_{n \to +\infty} x_n = a \), il existe \( n_0 \in \mathbb{N} \) tel que \( n \geq n_0 \Rightarrow |x_n - a| \leq \alpha \).
On a donc pour \( n \geq n_0 \), \( x_n \in D, x_n \neq a \) (car la suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) prend ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) et \( |x_n - a| \leq \alpha \). Ce qui donne, par \( (1.2) \), \( |f(x_n) - l| \leq \epsilon \).
On a donc bien \( n \geq n_0 \Rightarrow |f(x_n) - l| \leq \epsilon \).
On a donc bien montré que \( \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = l \). Ce qui termine la première partie de la démonstration (c’est-à-dire que \( l = \lim_{x \to a} f(x) \) implique que \( f \) transforme toute suite convergente vers \( a \) (et prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) en suite convergente vers \( l \)).
On montre maintenant la réciproque. On suppose que \( f \) transforme toute suite convergente vers \( a \) (et prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) en suite convergente vers \( l \). On veut montrer que \( l = \lim_{x \to a} f(x) \). Pour cela, on va raisonner par l’absurde. On suppose que \( l \) n’est pas la limite en \( a \) de \( f \) (la fonction \( f \) peut alors avoir une limite en \( a \) différente de \( l \) ou bien ne pas avoir de limite en \( a \)) et on va construire une suite \( (x_n)_{n \in \mathbb
{N}} \) prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \), telle que \( \lim_{n \to +\infty} x_n = a \) et \( l \) n’est pas limite de \( f(x_n) \) quand \( n \to +\infty \) (en contradiction avec l’hypothèse).
Comme \( l \) n’est pas la limite en \( a \) de \( f \), il existe \( \epsilon > 0 \) tel que pour tout \( \alpha > 0 \) il existe \( x \) tel que \( x \in D, x \neq a, |x - a| \leq \alpha \) et \( |f(x) - l| > \epsilon \).
Soit \( n \in \mathbb{N} \). En prenant \( \alpha = \frac{1}{n + 1} \), on peut donc choisir un réel \( x_n \) tel que \( x_n \in D, x_n \neq a, |x_n - a| \leq \frac{1}{n + 1} \) et \( |f(x_n) - l| > \epsilon \).
On a ainsi construit une suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) telle que \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset D \setminus \{a\} \), \( \lim_{n \to +\infty} x_n = a \) (car \( |x_n - a| \leq \frac{1}{n + 1} \) pour tout \( n \)) et \( l \) n’est pas limite de \( f(x_n) \) quand \( n \to +\infty \) (car \( |f(x_n) - l| > \epsilon \) pour tout \( n \)). Ce qui est bien en contradiction avec l’hypothèse que \( f \) transforme toute suite convergente vers \( a \) (et prenant ses valeurs dans \( D \setminus \{a\} \)) en suite convergente vers \( l \).
Ce qui termine la démonstration de la proposition 1.2.
**Remarque 1.1 :**
Il est souvent pratique d’utiliser la caractérisation séquentielle de la limite. Soit, par exemple, une fonction \( f \) de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \), \( A \) une partie non vide majorée de \( \mathbb{R} \) et \( a \) la borne supérieure de \( A \). Soit enfin \( m \in \mathbb{R} \). On suppose que :
1. \( f(x) \leq m \) pour tout \( x \in A \),
2. \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
On veut montrer que \( f(a) \leq m \). Bien sûr, ceci est immédiat si \( a \in A \) (et il suffit alors d’utiliser la première condition !) mais est un peu moins immédiat si \( a \notin A \). Dans ce cas (\( a \notin A \)), on remarque qu’il existe une suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) d’éléments de \( A \) telle que \( \lim_{n \to +\infty} x_n = a \) (ceci est donné dans la proposition 1.3). Comme \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \), on a donc \( \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = f(a) \) et comme \( f(x_n) \leq m \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on en déduit bien que \( f(a) \leq m \).
Table des matières
1. Limites
- 1.1 Définition et propriétés
- 1.2 Opérations sur les limites
- 1.3 Fonctions monotones
- 1.4 Exercices
- 1.4.1 Quelques rappels (Parties majorées et minorées, Suites)
- 1.4.2 Limites
- 1.5 Exercices corrigés
2. Continuité
- 2.1 Définition et propriétés
- 2.2 Théorème des valeurs intermédiaires
- 2.3 Fonction continue sur un intervalle fermé borné
- 2.4 Fonction strictement monotone et continue
- 2.5 Exercices
- 2.6 Exercices corrigés
3. Dérivée
- 3.1 Définitions
- 3.2 Opérations sur les dérivées
- 3.3 Théorème des Accroissements Finis
- 3.4 Fonctions de classe \( C^n \)
- 3.5 Exercices
- 3.6 Exercices corrigés
4. Formules de Taylor et développements limités
- 4.1 Taylor-Lagrange
- 4.2 Taylor-Young
- 4.3 Fonctions analytiques (hors programme...)
- 4.4 Développements limités
- 4.5 Exemples (formules de Taylor, DL)
- 4.6 Équivalents
- 4.7 Exercices
- 4.8 Exercices corrigés
5. Intégrale et primitives
- 5.1 Objectif
- 5.2 Intégrale des fonctions en escalier
- 5.3 Intégrale des fonctions continues
- 5.4 Primitives
- 5.5 Intégration par parties, formule de Taylor
- 5.6 Théorème de convergence
- 5.7 Exercices
- 5.8 Exercices corrigés
6. Fonctions réelles de plusieurs variables
- 6.1 Limite, continuité
- 6.2 Différentielle, dérivées partielles
- 6.3 Recherche d’un extremum
- 6.4 Exercices
cours s2 analyse 1 bcg
cours d'analyse 2
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